Dimensionality Reduction in Time Series

※ Elliott Pattern Helper Add In

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▶ Multiresolution Analysis with Wavelet Transform

  파동은 상이한 진폭과 상이한 주기(또는 주파수)를 갖는 다수의 신호들이 복합된 것(composite signal)이라고 볼 수 있다. 예를 들어 다음의 파동을 관찰해 보자.

그림 1. Composite signal

  많은 노력을 들이지 않더라도 그림 1의 파동은 다음 그림 2의 파동 (a), (b)와 (c)를 합쳐 놓은 것이라는 것을 알 수가 있다.

그림 2

  Multiresolution analysis 또는 Multiscale approximation은 위의 관점에서 파동을 해체한 후, 파동을 특정 resolution(또는 scale)의 approximation과 그 보다 낮은 resolution의 detail coefficient들로 재구성한다. ※ 자세한 사항은 Wavelet Transform 관련 서적을 참고하십시요.

▶ Multiresolution Decomposition

  다음 그림은 특정 시계열 데이터에 대해 multiresolution decomposition을 수행한 결과를 보여 준다.  (Haar a trous transform, scale 5)

그림 3-1. Approximation at scale 5

그림 3-2. Detail coefficients at scale 1

그림 3-3. Detail coefficients at scale 2

그림 3-4. Detail coefficients at scale 3

그림 3-5. Detail coefficients at scale 4

그림 3-6. Detail coefficients at scale 5

  위 그림 3의 6개 파동을 모두 합치면 어떤 모양이 될까? 위 decomposition 결과를 가지고 역으로 원래의 파동을 reconstruction하면 다음 그림 4의 결과를 얻을 수 있다.

그림 4. Reconstruction

  어디서 많이 본 듯한 파동의 모양이 아닌가? 그렇다. 바로 KOSPI 지수의 최근 140 거래일 동안의 파동이다. ※ 주의: 종가 기준이 아니라 고가와 저가의 평균가 기준임

▶ Dimensionality Reduction

  우리가 주식 시장에서 접하는 파동들은 분 단위, 시간 단위, 일 단위, 주 단위, 월 단위 등 time scale에 상관 없이 그림 4와 유사한 모양을 갖는다.

  Glenn Neely의 파동 분석 방법은 '중요한 저점 또는 고점'에서 시작된 일련의 monowave들의 구조 및 진행기호 분석에서 시작된다. Elliott Pattern Helper(EPH)를 이용하여 위 chart에서 monowave들을 추출하면 다음 그림과 같다.

그림 5. Monowaves

  가령 그림 5와 같이 박스 A로부터 monowave 분석을 시작해 나갈 수도 있을 것이며, 그림 6과 같은 중간 결과를 얻을 수도 있을 것이다.

그림 6. Structure/progress notation of monowaves

  그런데, 파동 분석이 어려운 이유 중의 하나는, 그림 6에서 간파했을지도 모르겠지만, 하나의 파동에 다양한 degree의 패턴이 뒤죽박죽 섞여 있다는 것이다.

  그림 6의 파동 중간에 위치한 작은 monowave 7개를 관찰해 보자. 각각은 그 이전 monowave와 비교했을 때 시간 및 길이에서 확연한 차이가 난다. 즉, 쉽게 생각해서 degree가 다르다고 볼 수 있는데, 이들의 구조 및 진행기호를 하나씩 하나씩 분석해 나가야 할까?

  이렇듯 우리는 파동 분석 과정에서 'dimensionality curse'를 겪을 수밖에 없는데, 이를 회피할 방법은 없을까?

  이번 글의 제목이자 주제인 바, dimensionality reduction이 이 문제의 해결을 위한 수단이 되지 않을까 생각해 본다.

  어떻게 보면, 큰 추세와는 상관이 없어 보이는 작은 파동들을 하나로 묶어 의미있는 파동 패턴을 쉽게 찾을 수 있도록 하는 방법이라고 볼 수도 있겠다.

▶ Transform and Filtering

  위에서 언급한 Haar a trous wavelet transform과 filtering을 적용한 후 EPH를 통해 구조/진행기호를 분석한 결과는 다음과 같다.

그림 7-1. Before wavelet transform

그림 7-2. After wavelet transform, layer 1 filtering

그림 7-3. After wavelet transform, layer 1 & 2 filtering

   그림 7-1에서 7-3까지, 'curse'로부터 벗어나기 위한 노력이 가치가 있을까? Daily chart가 아닌 weekly chart, weekly chart보다 더 긴 시간 단위의 monthly chart를 볼 때와는 달리 detail을 포기하지 않아도 될 듯한데...


※ 그림 1과 2는 'The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Paul S. Addison'에서 차용한 것임을 밝힙니다.